Bibliography

1

円周率関係書籍

2

平山諦, 改訂新版「円周率の歴史」, 大阪教育出版, 1980.
著者注： 入手困難．日本の和算家たちの円周率計算が載っている．

3

★ Petr Beckmann, ``A History of PI.'', 1971.
(邦訳. 田尾陽一・清水韶光 訳, 「$\pi$の歴史」, 蒼樹書房, 1973年)
著者注： 円周率の歴史に興味があるなら買って損は無いでしょう．一般向けの本です．

4

★ David Blatner, ``The Joy of Pi'',Walker & Co, 1999, ISBN 0-802775624. (邦訳 麻尾敦則訳, 「$\pi$〔パイ〕の神秘」, アー ティストハウス, 1999年7月, ISBN4-901142-09-7, 1600円.)

5

★ 野崎昭弘, 「$\pi$の話」, 岩波科学の本, 岩波書店, 1974, ISBN 4-00-115202-9.
著者注： 鹿児島県立図書館で借りた，著者が始めて読んだ円周率の本です． $\tan^{-1}$の計算に使う級数の誘導法が一般の方にもわかるように解説されています． 一般向け．1998年に再版されています.

6

Jonathan M.Borwein and Peter B.Borwein, ``Pi and AGM - A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity'', Wiley, New York, 1987, ISBN 0-471-83138-7.
著者注： Borwein兄弟による反復公式やRamanujan型級数の証明が載ってます． 値段は一万円以上すると思います．本棚の飾りには最適．

7

★ 金田康正, 「$\pi$のはなし」, 東京図書, 1991年, ISBN 4-489-00338-2.
著者注： 円周率の計算記録を何度も塗り変えられた金田先生による著書です． 円周率の高精度計算の逸話などに興味がある人は一読の価値あり．一般向けの 本です．

8

Lennart Berggren, Jonathan Borwein, Peter Borwein,
「PI: A Source Book」, Springer, 1996, ISBN 0-387-94924-0.
著者注： 古今東西の円周率の文献を集めた本です．値段は良く覚えてないが， 近所の本屋で1万円前半で購入したと思います．英語です．円周率の研究する なら，一冊あって損は無いと思います．

9

大野栄一, 「パソコンで挑む円周率」, 講談社(ブルーバックス 889), ISBN 4-06-132889-1.
著者注： BASICによる高精度計算のプログラムが載ってます．

10

猪口和則, 「πの公式をデザインする」, 新風舎, 1998, 1400円, ISBN4-7974-0493-0.
著者注：自費出版のようです．通常の流通では注文に時間がかかるようです．出版社へ 直接問い合わせる事をお勧めします．

文献[32]による所の「連鎖探索法」を追求した本で す．120ページを使って$\tan^{-1}$関係式の様々な変形方法が述べられてます． この書籍に載っている数値は一部計算ミスがあります．プログラム中でオーバー フローを考慮していないようですね．検算してから使ってください．

11

Robert Kanigel, "THE MAN WHO KNEW INFINTY", 1991.
(邦訳. 田中靖夫訳, 「無限の天才」, 工作舎, 1994, ISBN4-87502-239-5.)
著者注：多数の円周率の公式を発見したRamanujan の伝記である．

12

鳴海風, 「円周率を計算した男」, 新人物往来社, 1998, 1800円, ISBN4-404-02649-8.
著者注：本書は数学関係の書籍ではありません．和算家を題材にした歴史小説です．

13

堀場芳数, 「円周率$\pi$の不思議」, 講談社(ブルーバックス 797), ISBN 4-06-132797-6.

14

堀場芳数, 「対数eの不思議」, 講談社(ブルーバックス 862), ISBN 4-06-132862-X.

15

堀場芳数, 「無理数の不思議」, 講談社(ブルーバックス 978), ISBN 4-06-132978-2.

16

数値計算関係書籍

17

Donald E. Knuth, ``The Art of Computer Programming'',
Volume 2, ``Seminumerical Algorithms'', 2nd edition, Addison Wesley, 1981.
(邦訳. 中川圭介 訳, 「準数値算法, 算術演算」, サイエンス社, 1986年)
著者注： 超高精度乗算を扱った文献で必ず参考文献に挙がっている本です． (内容をすべて理解できる人は，情報系の大学で修士号がラクラク取れるでしょ う．積読や本棚の飾りには最適．)

18

野下浩平, 高岡忠雄, 町田元. 岩波講座 情報科学-10 「基本的算法」. 岩波書店. ISBN4-00-010160-9

19

森正武, 名取亮, 鳥居達生. 岩波講座 情報科学-18 「数値計算」. 岩波書店. ISBN4-00-010168-4

20

伊理正夫・藤野和建, 「数値計算の常識」, 共立出版, 1985年, ISBN 4-320-01343-3.
著者注： 数値計算をするならとりあえず読め．

21

和田秀男, 「高速乗算法と素数判定法」, 上智大学講究録 No.15,1983年3月.
著者注： Salamin Breant公式の証明が載ってます．入手困難．

22

★ 小池慎一, 「Cによる科学技術計算」, CQ出版, 1987年, ISBN 4-7898-3032-2.
著者注： さまざまなバリエーションのFFTのコードが載ってます．最近新版が 出たようですね．旧版では一箇所コードが間違っていた．

23

★ 安居院猛・中嶋正之, 「FFTの使い方」, 秋葉出版, エレクトロニクス選書 No.006, 1986年, ISBN 4-87184-006-9.
著者注： FFTの参考書．持っていて損はない．

24

＊木田祐司, 「UBASIC 86 ユーザーズマニュアル」, 日本評論社.
著者注： 著者はこの本を持ってないのですが，UBASICは，検算などにとても重宝するので 参考までに．

25

Murray R. Spiegel. マグロウヒル数学公式・数表ハンドブック. オーム社. ISBN4-274-13006-1.
著者注：πの公式がいくつか載ってます．

26

森本光生, 「パソコンによる解析入門」, 放送大学教育振興会, 1995, ISBN4-595-86421-3.
著者注： 例題に円周率関係の公式がたくさん出てきます．

27

村田健郎, 小国力, 唐木幸比古. 「スーパーコンピュータ - 科学技術計算への適用」. 丸善. ISBN4-621-02984-3
著者注：スーパーコンピュータ向けの$\tan^{-1}$関係式による計算プログラ ムが載ってます．

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雑誌

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柴田昭彦, 「円周率1000万桁への歩み」, 数理科学, 1982年3月, pp.65-73.

30

金田康正, 「bit ナノピコ教室・世界記録をめざして」,
bit, 出題 1980年11月 p.54, 解答 1981年2月 pp.92-95, 続解答 1981年6月 pp.101-103.

31

金田康正, 「bit ナノピコ教室・$\pi/4$と$\arctan$との関係式」, bit, 出題 1982年6月, 解答 1982年10月 pp.102-109.

32

高野喜久雄, 「$\pi$のarctangent relationsを求めて」, bit, 1983年4月, pp.83-91.

33

★ 金田康正, 「ナノピコ教室が生んだ円周率世界記録」, bit, 1988年10月, pp.4-15.

34

★ P.M. Borwein and P.B. Borwein, ``Ramanujan and Pi'', Sience American, Feb.1988, Vol.258, No.2, pp.66-73, (日本語版 「天才数学者ラマヌジャンと$\pi$」, 日経サイエンス, 1988年4月, pp.88-98.)

35

数学セミナー 「特集$\pi$」, 1989年3月.

36

金田康正, 「計算機による$\pi$の計算」, 数学セミナー, 1989年3月, pp.12-18.

37

中村滋, 「エレガントな解答をもとむ」(出題1998年3月号, 解答 1998年6月号), 数学セミナー.
著者注：雑誌「数学セミナー」1998年3月号の読者参加コーナの「エレガントな解答を もとむ」で，$\tan^{-1}$関係式の2項式は既知の4個しか存在しない事を証明する課 題が出されました．6月号で東京商船大学の中村滋先生により解答の解説が行 なわれました．

38

てふてふ, 「PI.COM & PI386.COM ・ 円周率を10万桁計算する」, I/O, 1991年2月, pp.181-183.

39

学術雑誌
学術雑誌は，一般図書館では入手困難． 情報系の学科/学部のある大学の附属 図書館などで探してみてください．ほとんどの大学の附属図書館は，閲覧だけなら 免許証などの身分証明があればできるはずです．

情報処理学会は雑誌を三つ出してます．「情報処理学会誌」，「情報処理学会 論文誌」，「情報処理学会研究報告」．お間違えないように．「情報処理学会 研究報告」はペラペラの薄い冊子です．

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金田康正, 「多倍長けた数の計算 ―πの計算を中心と して―」, 電子情報通信学会誌 Vol.72 No.10, pp.1085-1092 (1989年10月)

41

高橋大介・金田康正, 「多倍長平方根の高速計算法」, 情報処理学会研究報告 95-HPC-58,pp.51-56(1995).

42

高橋大介・金田康正, 「分散メモリ型並列計算機によ る 2,3,5基底のFFTの実現と評価」, 情報処理学会研究報告 96-HPC-62, pp.117-122(1996).

43

高橋大介・金田康正, 「分散メモリ型並列計算機によ る高速多倍長計算」, 情報処理学会研究報告 96-HPC-60, pp.31-36(1996).

44

＊高橋大介・金田康正, 「円周率―高速計算法 と統計性(3)」, 情報処理学会第37回プログラミングシンポジウム報告集, pp.73-84 (1996).

45

高橋大介・金田康正, 「分散メモリ型並列計算機によ る円周率の高精度計算」, 情報処理学会研究報告 97-HPC-67, pp.19-24(1997).

46

高橋大介・金田康正, 「分散メモリ型並列計算機によ る 2,3,5基底のFFTの実現と評価」, 情報処理学会論文誌 Vol.39 Np.3, pp.519-528(1998).

47

高橋大介・金田康正, 「分散メモリ型並列計算機によ る多倍長平方根の高速計算法」, 情報処理学会研究報告 96-HPC-63, pp.19-24 (1996).

48

高橋大介・金田康正, 「並列計算機における二次記 憶を用いた一次元FFTの実現と評価」, 情報処理学会研究報告 97-ARC-123, pp.7-12 (1997).

49

高橋大介・金田康正, 「多数桁の円周率を計算す るための公式の改良：ガウス-ルジャンドル公式とボールウェインの4次の収束 の公式」, 情報処理学会論文誌 Vol.38 No.11 , pp.2406-2409 (1997年11月).

50

高橋大介・金田康正, 「分散メモリ計算機による 円周率の515億桁計算」, 情報処理学会論文誌 Vol.39 No.7 , pp.2074-2083 (1998年7月).

51

高橋大介・金田康正, 「積和演算に向いた8基 底FFT Kernelの提案」, 情報処理学会研究報告 99-HPC-76，pp.55-60(1999).

52

小沢一文, 「平方根を近似する高次収束法」, 情報処理学 会研究報告 89-NA-30 (1989).

53

小沢一文・海野啓明, 「多倍長浮動小数点の除算を 高速に行なう方法―O(n²)のアルゴリズムに関して―」, 情報処理学会 研究報告 90-NA-32 (1990).

54

小沢一文, 「多倍長浮動小数点のための平方根の高速計 算法」, 情報処理学会論文誌 Vol.31 No.7, pp.953-963 (1990年7月).

55

平山弘, 「FFTによる多倍長数乗算法の誤差」, 情報処理学会 研究報告 92-NA-40, pp.1-8(1992).

56

平山弘, 「FFTによる高精度数の乗算」, 情報処理学会 研究報告 97-HPC-65, pp.27-32(1996).

57

平山弘・浮川直章, 「連分数の高速評価法」, 情報処 理学会研究報告 99-HPC-78, pp.25-30(1999).

58

★ 大浦拓哉, 「円周率公式の改良と高速多倍長計算の実装」, 情報処理学会研究報告 98-HPC-74, pp.25-30 (1998).
著者注：論文の著者のホームページ (http://momonga.t.u-tokyo.ac.jp/~ooura/)には，FFTの設計資料があ ります．一読の価値あり．

59

＊大浦拓哉, 「円周率公式の改良と高速多倍長計算の実装」, 日本応用数理学会論文誌, Vol.9, No.4, pp.??-??(1999).

60

右田剛史・天野晃・浅田尚紀・藤野清次, 「級数の集約 による多倍長数の計算法とπ計算への応用」,情報処理学会研究報告 98-HPC-74, pp.31-36 (1998).

61

右田剛史・天野晃・浅田尚紀・藤野清次, 「級数の再帰約 集約による多倍長数の計算法とπ計算への応用」,情報処理学会論文誌 Vol.40 No.12, pp.4193-4200 (1999).

62

後保範・金田康正・高橋大介, 「無限級数に基づく多数桁 計算の演算量削減を実現する分割有理数化法」, 京都大学 数理解析研究所 講究録 No.1084 「数値計算における前処理の研究」, pp.60-71 (1999年2月).

63

Eugene Salamin, ``Computation of $\pi$ Using Arithmetic-Geometric Mean'', 初出調べる.
([8, pp.418-423]に掲載．)

64

Richard P. Brent, ``Fast Multiple-Precision Evaluation of Elementary Functions'', 初出調べる.
([8, pp.424-433]に掲載．)

65

Leonhard Euler, ``Chapter 10 of Introduction to Analysis of the Infinite (On Use of the Discovered Fractions to Sum Infinite Series)'', 1748.
([8, pp.112-128]に掲載．)

66

Srinivasa Ramanujan, ``Modular Equations and Approximations to $\pi$'', 1914.
([8, pp.241-257]に掲載．)

67

Herman C. Schelper, ``The Chronology of PI'',1950.
([8, pp.282-305]に掲載．)

68

J.M.Borwein, P.B.Borwein, ``Class number three Ramanujan type series for 1/$\pi$'', Journal of Computational and Applied Mathematics 46 (1993), pp.281-290.

69

J.M.Borwein, P.B.Borwein ``More Ramanujan-type series for 1/Pi'', in: ``Ramanujan Revisited : Proceedings of the Centenary Conference'', George E.Andrews, Academic Press, 1988, pp.359-374.

70

Heng Huat Chan, Wen-Chin Liaw ``CUBIC MODULAR EQUATIONS AND NEW RAMANUJAN-TYPE SERIES FOR 1/$\pi$'', 京都大学 数理解析研究所 講究録 No.1060 「数論とその応用」, pp.29-33 (1998年8月).

71

オンラインドキュメント

72

★ Peter Borwein, ``Home Page For Peter Borwein'',
(http://www.cecm.sfu.ca/personal/pborwein/).
著者注：数々のπの公式を作ったPeter Borwein氏のホームページである． 彼のホーム ページには，たくさんのπの論文が置いてある．πに興味ある人は一度訪れて 損は無い．

73

Peter Borwein, ``On the Computation of Pi'', 1993,
(http://www.cecm.sfu.ca/personal/pborwein/).

74

D.Bailey, P.Borwein, S.Plouff, ``On the rapid computation of various polylogarithmic constants'', 1991, (http://www.cecm.sfu.ca/personal/pborwein/ および[8, pp.663-676]に掲載．).

75

★ Jorg Arndt, ``remarks on arithmetical algorithms and the computation of $\pi$'', 1997,
(http://www.jjj.de/hfloat/).
著者注：``hfloat''という数値計算パッケージ付属の文章である．多倍長計算 のアルゴリズム，大量の円周率の公式，円周率の公式の探しかたなどが解説し てある．一読の価値あり．

76

J.M.Borwein, F.G.Garvan, ``Approxiations to $\pi$via the Dedekind eta function'', 1996.
(http://www.cecm.sfu.ca/~jborwein/).

77

PiHex, A distributed effort to calculate Pi. (http://www.cecm.sfu.ca/projects/pihex/).

78

A new formula to compute the n'th binary digit of pi.
(http://www-stud.enst.fr/~bellard/pi/pi_bin/pi_bin.html).

79

Fabrice Bellard's PI page.
(http://www-stud.enst.fr/~bellard/pi/).

80

Victor Adamchik,Stan Wagon, ``Pi: A 2000-Year Search Changes Direction''.
(http://members.wri.com/victor/articles/pi/pi.html)

81

Kirby Urner, ネットニュース sci.math ``Subject: Yet another PI algorithm'', 1995,
(Message-ID: <41531v$hn@maureen.teleport.com>)

82

Bruno Haible, Thomas Papanikolaou, ``Fast multiprecision evaluation of series of rational numbers'', Technical Report No. TI-7/97, Darmstadt University of Technology, 1997.
(http://www.informatik.tu-darmstadt.de/TI/Mitarbeiter/papanik/)

83

松元隆二, 「Arctan関係式一覧」.
(http://www.pluto.ai.kyutech.ac.jp/plt/matumoto/syumi.html).

84

松元隆二, 「Ramanujan型級数一覧」.
(http://www.pluto.ai.kyutech.ac.jp/plt/matumoto/syumi.html).

注記

• 始めに「★」が付いている文献は，著者お勧め．

• 始めに「＊」が付いている文献は，著者が読んだ事がないのだが，役に たちそうなので載せてある．

• 情報処理学会研究報告で, 「NA」は数値解析の略, 「ARC」はコンピュータアーキテクチャの略，「HPC」はハイパフォーマンスコ ンピューティングの略．